Бриджклуб.ru

Вероятность и бридж

Марк и Рудольф Иоффе

наверх

    Хотелось бы еще раз напомнить, что само рождение теории вероятностей связано с анализом азартных, в том числе и карточных игр, к которым, безусловно, относится и бридж. В настоящее время опубликовано большое количество серьезных исследований, связанных с использованием в бридже методов теории вероятности. В качестве наиболее широко известного примера можно назвать вычисление вероятности того или иного расклада. Можно, например, спросить, чему равняется вероятность нахождения в одной руке 13 карт одной из мастей. Ответ очевиден. Для нахождения вероятности необходимо разделить общее число мастей, то есть 4, на возможное число вариантов выбора 13 карт из 52. Это число равняется 6,35014х1011, а искомая вероятность равняется 6,29908х10-12. Событие с такой вероятностью, очевидно, является чрезвычайно редким. При этом и сам вопрос о вероятности расклада требует точной формулировки, от которой зависит конечный результат. Простой пример. Известно, что вероятность того, что у левого оппонента из 5-ти отсутствующих у вас козырей будет ровно 2 козыря, равна – 33,9%. При этом вероятность наличия у левого оппонента двух из 5 козырей практически не зависит от распределения ваших козырей. Теперь попробуем поставить этот же вопрос несколько иначе. Если, кроме того, вы знаете, что у левого оппонента есть 4 карты в побочной масти, то вероятность его расклада (2 козыря и 4 карты в побочной масти) будет равна всего 10% (см. Калькулятор III).
    Вполне естественно, что непосредственно во время игры игрок просто не в состоянии точно вычислять вероятность того или иного события. Однако оценивать её он просто обязан. Такие оценки и делают опытные игроки, правда скорее всего на подсознательном уровне, однако доказать их достоверность практически невозможно.
    С проблемами вероятности в бридже приходится сталкиваться и во время торговли при назначении контрактов и во время розыгрыша. Вероятность выполнения любого контракта (ВВК), как известно, в первую очередь зависит от расклада и от расположения ключевых фигур.
    Вероятность выполнения контракта (ВВК) не нужно путать с возможностью его выполнения. В реальной жизни всегда существует возможность выигрыша практически любого контракта, даже контракта с «нулевой» вероятностью выполнения. Под контрактом с нулевой вероятностью выполнения мы понимаем контракт, который не может быть выполнен при игре на открытых картах. Очевидно, что при игре на закрытых картах такие контракты часто выигрываются из-за неудачной или ошибочной игры вистующих. С другой стороны и контракты со 100% вероятностью выполнения достаточно часто проигрываются из ошибки разыгрывающего.
    Напомним несколько самых простых и хорошо известных формул, которые можно использовать для расчета ВВК.

  1. Если для реализации контракта необходимо выполнение как минимум одного из трех событий с вероятностью Р1, Р2 и Р3, то ВВК1 = Р1+ Р2 + P3 - P1 x P2 - P1 x P3 - P2 x P3 + P1 x P2 x P3.
  2. Если для реализации контракта необходимо выполнение как минимум любых двух из трех событий (первого, второго или третьего), то ВВК2 = P1 x P2 + P1 x P3 + P2 x P3 - 2 P1 x P2 x P3.
  3. Если для реализации контракта необходимо выполнение всех трех событий, то ВВК3 = P1 x P2 x P3.
  4. Если для реализации контракта необходимо выполнение первого и второго или третьего события (или первого и третьего или второго события, или второго и третьего или первого события), то ВВК4 = P1 + P2 + P3 – P1 х P2 – P1 х P3 – P2 х P3 + P1 х P2 х P3.
  5. Если для реализации контракта необходимо выполнение первого и третьего или второго и третьего события, то ВВК5 = Р3(Р1 + Р2 – Р1 х Р2).

    Если, например, вероятность события A при условии выполнения несовместимого с ним события B равняется P1, а вероятность этого же события при условии выполнения несовместимого с ним события C равняется P2, то суммарная вероятность выполнения события A равняется (P1 х P3) + (P2 х P4), где P3 – вероятность выполнения события B, а P4 – вероятность выполнения события C.
    Для трех событий B, C и D суммарная вероятность события А = (Р1 х Р4) + (Р2 х Р5) + (Р3 х Р6).
    Например, возможны три расклада А, Б и В с вероятностью Р1, Р2 и Р3.
    Контракт можно выиграть при раскладе А с вероятностью Р4 или при раскладе Б с вероятностью Р5 или при раскладе В с вероятностью Р6.
    В этом случае вероятность выигрыша контракта Р = (Р1 х Р4) + (Р2 х Р5) + (Р3 х Р6).
    Для иллюстрации расчета вероятности выполнения контракта рассмотрим такой сравнительно простой пример.
    Контракт 4 пики, который вы со своими 15 очками хотите назначить, может быть выполнен при следующих условиях. 1. У партнера, который по торговле имеет 8-10 очков, должен быть или туз бубен или король пик. 2. Козыри у противников должны лежать 3-2.
    Вероятность выполнения первого условия A равна 0,596, а вероятность второго условия равна 0,678. В этом случае вероятность (ВВК) выполнения контракта 4 пики будет равна 0,4. (Подробнее о расчете вероятностей – см. ниже).
    Для принятия оптимальных решений во время торговли помимо вероятности нужно учитывать и использовать понятие среднего значения или математического ожидания случайной величины. В качестве примера такой случайной величины можно рассмотреть результат сдачи для каждой из участвующих в матче команд. Результатом сдачи будет количество набранных, в случае выполнения контракта, или потерянных в случае невыполнения очков или ИМП’ов (A1и A2). Если вероятность выполнения контракта, которая зависит от распределения всех карт, равняется Р, а вероятность невыполнения контракта соответственно (1- Р), то математическое ожидание рассматриваемой случайной величины, то есть набранных очков или ИМП’ов будет равно A1Р - A2 (1 - Р). Очевидно, что контракт можно назначать в том, и только в том случае, если эта величина будет больше нуля, то есть в этом случае, когда есть какая-то вероятность того, что пара, назначившая контракт, выиграет эту сдачу.
    Для оценки возможного результата сдачи введем два основных термина и проиллюстрируем их практическое применение на нескольких примерах.
    Вероятность выполнения контракта (ВВК) – значение вероятности в пределах от 0 до 1. При вероятности, равной 1, контракт будет выполнен, а при вероятности, равной нулю, – не выполнен. В первом случае будет взято ровно столько взяток, сколько необходимо для выполнения контракта, а во втором случае – по крайней мере, на 1 взятку меньше.
    Граничная величина выполнения контракта (ГВВК) – значение вероятности, которое необходимо учитывать в матчах для назначения оптимального контракта.
    Пример 1. Первая команда вне зоны поставила 4 червы, а вторая остановилась в трех червах. Возможный выигрыш первой команды (420 – 170)*Р, а возможный проигрыш (140 + 50)*(1 – Р). Граничное значение вероятности Р1 в этом случае будет равно 0,43 (190/440) или, при пересчете очков в ИМР’ы, – 0,455.
    Пример 2. Обе команды вне зоны поставили 4 червы, но на первом столе первая команда играет этот контракт под контрой, а на втором столе вторая команда играет его без контры. В контракте 4 с вероятностью Р можно взять 10 взяток, а с вероятностью (1 – Р) – 9 взяток. Возможный выигрыш первой команды на первом столе – 590*Р. Возможный проигрыш первой команды на первом столе – 100*(1 – Р). На втором столе первая команда может выиграть 50*(1 – Р), а проиграть – 420*Р. Всего первая команда может выиграть 170*Р, а проиграть 50*(1 – Р). Граничное значение вероятности Р1 в этом случае будет равно 0,227 или в пересчете очков в ИМП’ы – 0,286.
    Если ГВВК > ВВК, то первая команда, назначившая первый контракт, теоретически должна выиграть эту сдачу у второй команды, назначившей такой же или меньший на одну взятку контракт.
    ВВК, которая зависит от расклада и расположения ключевых фигур, оценивается самими игроками на основе собственного опыта по имеющейся у них информации, тогда как ГВВК рассчитывается с учетом «цены игры» или возможного результата сдачи.
    Пример 3. Матч. Все вне зоны. Противники молчат (слабая карта). Вы торгуетесь в поисках оптимального контракта и останавливаетесь в 4 червах. Вам дали контру.
    Будем считать, что на открытых картах в этой сдаче возможно только два результата – или 10 взяток или 9 (в зависимости от реального расклада и расположения ключевых фигур).
    Предположим, что из всего большого количества возможных вариантов расклада и расположения ключевых фигур в 40% случаев будет взято 10 взяток, а в 60% – 9. Поэтому мы говорим, что вероятность выполнения контракта (ВВК) в этой сдаче равна 0,4. Для оценки конечного результата сдачи кроме ВВК нужно учитывать и «цену» игры (возможный выигрыш или проигрыш в очках или ИМП’ах). Среднее количество очков, которое мы можем получить в этой сдаче, будет равно 590х0,4 – 100х0,6 = 176.
    На другом столе другая команда тоже назначила 4 червы, но играет этот контракт без контры. Среднее количество очков, которое могут получить наши противники в этой сдаче, будет равно 420х0,4 – 50х0,6 = 138.
    Сравнивая возможные результаты сдачи, можно сделать вывод о нецелесообразности контры.
    Такой же вывод можно сделать и путем сравнения значения ВВК (0,4) и граничного значения вероятности выполнения контракта (ГВВК), равного для этого случая (4 червы без контры и 4 червы под контрой) всего 0,23 или, при пересчете очков в ИМП’ы, 0,286.
    Для расчета ГВВК можно воспользоваться разработанным нами Калькулятором I.1, который позволяет с учетом заданных ограничений рассчитать граничное значение вероятности выполнения контракта, больше или меньше которого первая команда, назначившая первый контракт на первом столе, выиграет эту сдачу при условии, что на втором столе вторая команда назначит такой же контракт или контракт, по уровню на одну взятку меньший первого контракта.
    Для оценки возможного результата сдачи в зависимости от вероятности выполнения соответствующих контрактов мы разработали Калькулятор I.2, который позволяет получить информацию, которую можно использовать для принятия оптимальных решений в соревнованиях пар при конкурентной торговле и игре в защите или в нападении при назначении заведомо невыполнимых контрактов, которые могут не только уменьшить проигрыш соответствующей пары, но и обеспечить ей выигрыш данной сдачи, и которые можно использовать также для получения информации, полезной для принятия оптимальных решений в командных соревнованиях (матчах), когда одна и та же команда играет разные контракты, назначенные ею на первом и втором столе.
    Для расчета вероятностей, от которых зависит вероятность выполнения контракта (ВВК), мы разработали еще несколько калькуляторов.
    Калькулятор II.1 – для вычисления результата сдачи, в которой первая команда назначила гейм, а вторая малый или большой шлем, в зависимости от вероятности того, что первая команда выполнит контракт ровно или возьмет одну, две или три лишние взятки.
    Калькулятор II.2 – для вычисления результата сдачи, в которой вторая пара назначила более высокий контракт, чем первая пара, в зависимости от вероятности выполнения контракта, назначенного первой парой при разной вероятности того, что вторая пара выполнит контракт или недоберет одну, две или три взятки.
    Калькулятор III.1 – для расчета вероятности расклада одной руки (без учета мастей), вероятности расклада первой, второй и третьей руки с учетом мастей (не зависимо от расклада других рук), вероятности расклада одновременно первой и второй, первой и третьей, второй и третьей руки и первой, второй и третьей руки, вероятности расклада третьей руки при заданном раскладе первой и второй руки, вероятности расклада второй руки при заданном раскладе первой руки, вероятности расклада третьей руки при заданном суммарном количестве карт во всех четырех мастях первой и второй руки, вероятности наличия сингля или ренонса во второй или третьей руке при заданном раскладе первой руки и вероятности расклада второй руки в заданных пределах при заданном раскладе первой руки. Калькулятор позволяет рассчитать методом Монте-Карло (с точностью около 1%) вероятности раскладов, заданных полностью или частично (с указанием количества карт в любой одной, двух, трех или четырех мастях).
    Калькулятор III.2 – для вычисления (при определенном суммарном количестве карт у Севера и Юга): а) вероятности расклада Востока (Запада), б) наиболее вероятного расклада Востока (Запада), в) относительной вероятности (отношение вероятности выбранного расклада к вероятности наиболее вероятного расклада), г) количества возможных раскладов Востока (Запада) и д) вероятности распределения мастей.
    Калькулятор III.3 – для нахождения наиболее вероятных раскладов трех рук, вычисления вероятности наличия сингля или ренонса у Запада или Востока при полностью заданном раскладе Севера и заданном полностью или частично раскладе Юга, Запада и Востока и для вычисления вероятности полностью или частично заданного расклада Юга при полностью заданном раскладе Севера.
    Калькулятор III.4 – для определения вероятности расклада Юга при полностью заданном раскладе Севера и заданном максимальном и минимальном количестве карт в разных мастях Юга.
    Калькулятор III.5 – для вычисления вероятности наличия у Юга определенного количества карт в одной масти (n1 и n2; n2 = n1 +1) при заданном количестве карт в этой масти у Севера (n).
    Калькулятор IV.1 – для вычисления вероятности наличия у пары Восток-Запад тузов и королей при заданном количестве старших фигур у Севера и известных очках Юга.
    Калькулятор IV.2 – для анализа руки и определения всех возможных сочетаний выбранных онеров для руки с заданным количеством очков и расчета вероятности нахождения в руке нужных для выигрыша контракта сочетаний онеров.
    Калькулятор IV.3 – для расчета вероятности силы руки в выбранном диапазоне очков и вероятности нахождения в руке с заданным количеством очков как минимум одного или всех выбранных онеров.
    Калькулятор IV.4 – для расчета вероятности силы руки в выбранном диапазоне очков при известном количестве очков у одной из трех оставшихся рук.
    Калькулятор IV.5, который позволяет на основе соответствующих вероятностей вычислить (в ИМП’ах) возможный результат сдачи, в которой на одном столе партнеры остановились в частичном контракте (или в гейме), а на другом столе предприняли попытку (путем инвита) назначить гейм или шлемик. В расчетную модель калькулятора заложены следующие предположения. Считается, что при розыгрыше возможны всего три результата: выполнение минимального контракта ровно, или с одной или с двумя лишними взяткам. Каждый результат имеет свою вероятность, и в сумме все три вероятности равняются единице. При заданных вероятностях калькулятор вычисляет средние значения очков, которые могут быть получены на столе, где предприняли попытку (путем инвита) назначить гейм или шлемик, и сравнивает их со средними значениями очков, полученных на другом столе при выполнении минимального контракта. В расчетах учитывается величина М (вероятность очков, при которых инвит будет принят).
    Для оценки вероятности выполнения контракта (ВВК) можно воспользоваться разработанным нами Генератором-Анализатором, который состоит из двух связанных друг с другом программ, первая из которых позволяет генерировать с учетом заданных ограничений для произвольно заданной руки Севера множество рук Юга и множество рук Востока и Запада, а вторая – оценивать (на открытых картах) вероятность выполнения контракта, назначенного парой Север-Юг для любой произвольно заданной руки Севера и заданной или выбранной с учетом заданных ограничений методом Монте-Карло руки Юга и любых выбранных методом Монте-Карло рук Востока-Запада.
    Разработанный нами генератор-анализатор безусловно уступает по уровню и возможностям известным нам генераторам-анализаторам (например, генератору-анализатору Dealmaster Pro или генератору-анализатору «A bridge hand generator by Thomas Andrews», в которые встроена программа автоматического определения количества взяток (double-dummy)). При этом, однако, его можно достаточно просто использовать не только для анализа вероятности выполнения контракта (ВВК) в сгенерированных или сыгранных сдачах, но и для накопления опыта, столь необходимого нам для принятия оптимальных решений в процессе торговли. Накопленный на генераторе-анализаторе опыт может избавить нас от сложного анализа и длительных раздумий в сравнительно простых сдачах и позволит сберечь силы для принятия оптимальных решений в действительно сложных и требующих многоходового анализа сдачах.
    Представьте себе самую простую и очень часто встречающуюся в бридже ситуацию. На второй руке вы (Север) открыли торговлю заявкой 1 пика. Левый оппонент включился в торговлю заявкой 2 бубны. Ваш партнер сказал 2 пики и правый оппонент спасовал. Вы видите свою карту и должны принять ключевое решение – спасовать или продолжить торговлю. Для ответа на этот вопрос, который зависит от многих факторов, существует множество разных рекомендаций. В конечном итоге вы на основе своих знаний и своего опыта принимаете некое решение. Правильно ли вы поступили или нет? Как ответить на этот вопрос?
    Предположим, что вы перед своей последней заявкой проанализировали имеющуюся у вас информацию и как-то оценили свои возможности. Рассмотрев в уме разные варианты расположения ключевых с точки зрения количества набираемых вами взяток карт, вы пришли к заключению, что контракт, который вы собираетесь назначить, может быть выполнен только при соблюдении трех определенных условий.
    Если, например, первым условием является импас (Р1=0,5), вторым условием является развал козырей 3-2 с импасом козырной дамы (Р2=0,34), а третьим – отсутствие хода в одну из трех оставшихся мастей (Р3=0,33), то ВВК1 (должно быть выполнено любое одно из трех условий) равна 0,81, ВВК2 (должны быть выполнены любые два из трех условий) = 0,31, ВВК3 (должны быть выполнены все три условия) = 0,055, ВВК4 (должно быть первое и второе или третье (или первое и третье или второе, или второе и третье или первое) условие) = 0,81.
    Для получения корректного ответа на вопрос о целесообразности принятого вами во время торговли того или иного решения по критерию вероятности выполнения конечного контракта путем сравнения ВВК с ГВВК вы можете использовать и наш генератор-анализатор.
    Введите в генератор всю известную вам информацию (свою руку и какие-то полученные вами в процессе торговли сведения о руке левого оппонента и руке партнера). В соответствии с этой информацией генератор сгенерирует множество рук юга или множество рук вашего партнера (Юга) и множество рук ваших оппонентов (Запада и Востока). Просмотрите и оцените, например 50 или 80, возможных вариантов сдачи и получите величину ВВК, который вы играли в этой сдаче. Сравнив полученную величину ВВК с величиной ГВВК, вы с точностью 15% или 10% узнаете «правильным или неправильным» было принятое вами в этой сдаче во время торговли решение.
    Нам кажется, что такой анализ не только доставит вам некоторое удовольствие, но и не пройдет для вас даром и так или иначе, как и любой накопленный опыт, его результат останется в вашей памяти и поможет вам в следующий раз в похожей сдаче принять правильное решение и назначить в этой сдаче контракт, оптимальный с точки зрения вероятности его выполнения.

Предварительные итоги (Р. Иоффе)
    Прошло уже больше года с момента разработки нашего первого калькулятора, но я хорошо помню причину его появления на свет. В это время я много играл в бридж с одним из своих старых добрых знакомых, который не только хорошо разбирается в бридже, но и всегда имеет свое собственное мнение, основанное на большом личном опыте и хорошем знании посвященной бриджу литературы. Несмотря на то, что мы начали играть в бридж примерно в одно и тоже время, мои представления о бридже не всегда совпадают с его мнением. В результате довольно часто у нас возникали дискуссии, которые обычно кончались тем, что каждый из нас оставался при своем собственном мнении.
    Для того чтобы мои доводы выглядели более убедительно, я попытался обосновать их «научно» на основе теории вероятности. (Сразу же должен сказать, что без непосредственного участия и неоценимой помощи моего брата Марка я вряд ли смог справиться с этой задачей).
    К сожалению, приходится констатировать, что за прошедший год мне никого не удалось в чем-то переубедить, и я не смог добиться каких-то реальных успехов в популяризации своей точки зрения и выполненных нами исследований, которые оказались практически никому не интересными и не нужными. Основной довод моих оппонентов: вероятность – далеко не самое главное в бридже (хотя мы этого никогда и не утверждали), результаты игры зависят от состава турнира, от количества «естественных» ошибок противников в защите, особенно на первом ходу, и целого ряда других, не объективных, а субъективных факторов. Большинство же из тех, кого я просил как-то высказать свое мнение по поводу наших исследований, либо проявили полное безразличие, либо вот уже в течение долгих месяцев «пишут» нам свои замечания, и только несколько знакомых мне бриджистов (Олег Рубинчик, Саша Сухоруков, Максим Жмак, которым я искренне признателен) высказались по существу дела.
    Особо хотел бы отметить Влада Драгальчука, который не только внимательно прочел все, что написано выше, но и высказал целый ряд критических замечаний и одновременно дал очень много полезных советов. С большей частью его замечаний я полностью согласился и с благодарностью внес в свой текст соответствующие поправки.
    Несмотря на отсутствие особого интереса, я тем не менее по-прежнему глубоко убежден, что наши Калькуляторы и Генератор-Анализатор могут принести большую пользу, особенно тем, кто захочет научиться серьезному бриджу или повысить свою квалификацию за счет учета влияния вероятности на результаты игры.
    Хотелось бы привести и еще одно соображение в пользу нашего Генератора-Анализатора.
     Конечно бридж – это в первую очередь игра, удовольствие от которой зависит не только от найденных вами в процессе игры удачных решений, но и от общения с приятными партнерами и оппонентами. Но, как и все в этой жизни имеет обратную сторону, так и бридж иногда доставляет нам всем огорчения, в первую очередь связанные с нашими собственными ошибками и непониманием партнера.

    При этом вряд ли кто-то не согласится с тем, что для игры на хорошем уровне нужно как можно чаще играть в различных турнирах или дома с друзьями.
    Однако иногда по целому ряду субъективных или объективных причин вам не удается вырваться из дома, и вы проводите свое свободное время у экрана компьютера, играя в бридж, например, в ББО.
    В ББО вы не всегда находите своих обычных партнеров или просто знакомых бриджистов, и поэтому часто играете со случайными партнерами, игра с которыми в итоге не только не доставляет вам никакого удовольствия, но и не редко вызывает только отрицательные эмоции. Тогда вы уходите из ББО с оставшимся неудовлетворенным желанием поиграть. Вот тут-то и можно воспользоваться имеющимся в памяти вашего компьютера Генератором-Анализатором, который, безусловно, поможет вам не только приятно, но и с определенной пользой провести какую-то часть своего свободного времени.
    В заключение хотел бы искренне поблагодарить моих давних и близких друзей Славу Демина и Володю Иванова, которые дали нам много практических советов и помогли нам в оформлении калькуляторов и генератора-анализатора, и Славу Бродского, который не только считает важным учитывать в бридже соображения вероятности, но и в принципе положительно оценил всю проделанную нами работу.

08.2009

^Вернуться к Книгам и Статьям

^-Вернуться к Титульной странице






реклама Купить женские халаты http://medicalserviceplus.ru/. . По материалам: Кононов: "Было много сумбура и фолов".