Полная версия этой страницы:
Теорвер в быту
Увидел задачу. Показалась занимательной. Так как многие бриджисты любят вероятности, то осмелился предложить здесь.
В бридж-клуб привезли питьевой агрегат с тремя кнопками: "Чай", "Кофе" и "Мне повезет", которая наливает чай или кофе с вероятностью 1/2.
Кнопки, естественно, забыли подписать.
Сколько раз потребуется в среднем нажать на эти кнопки, чтобы установить их назначение?
Говорят, решается без сложных формул.
Алгоритм: нажимаем две разные кнопки.
Вариант 1 - получили два одинаковых напитка. Значит третья кнопка - это другой напиток. Продолжаем нажимать первые две кнопки по очереди, пока не получим чего-то нового.
Вариант 2 - получили два разных напитка. Нажимаем третью, теперь у нас есть две кнопки с одинаковыми напитками и одна - с другим. Последняя всегда выдает этот напиток, а две оставшиеся кнопки опять нажимаем по очереди, пока одна не сменит показания.
Вероятности оставлю посчитать кому-нибудь еще, но ответ, видимо, где-то между шестью и семью.
P.S.: кстати, не исключено, что когда осталось две кнопки, нажимать их по очереди - не оптимальная стратегия.
Хотелось бы таки увидеть цифру. Говорят 6,5 неправильно
Цитата(Gombo @ 03.08.13, 11:54)
P.S.: кстати, не исключено, что когда осталось две кнопки, нажимать их по очереди - не оптимальная стратегия.
Особенно весело будет, когда некто, в надежде на то, что нажимать по очереди не является оптимальной стратегией, выберет не ту кнопку и будет ждать когда его "оптимальная" стратегия приведет к выходу из сложившейся ситуации. :-)
Цитата(srg @ 03.08.13, 17:47)
Особенно весело будет, когда некто, в надежде на то, что нажимать по очереди не является оптимальной стратегией, выберет не ту кнопку и будет ждать когда его "оптимальная" стратегия приведет к выходу из сложившейся ситуации. :-)
Кроме "наижмать по очереди" и "нажимать все время одну и ту же" других вариантов в голову не приходит?
Ну давайте посчитаем. Начнем с конца - процедура "нажимаем две кнопки по очереди" выдаст ответ в среднем через 3 нажатия, если мы начнем с "мне повезет" и через 4, если начать с "постоянной" кнопки. Варианты равновероятны, в среднем - 3.5.
Если мы начали с двух одинаковых продуктов, то всего нам в среднем потребуется 5.5 нажатий; если с двух разных - 6.5. Вероятность первого варианта 1/3 ( в двух случаях из трех в паре, которую мы выберем, будет "постоянная кнопка" и "мне повезет", но только в половине из них получатся одинаковые продукты), соответственно, второго - 2/3
Итого: 5.5/3+ 2*6.5/3 = 6 1/6, если нигде не наврал.
3,5 раза
2 раза жмем кнопку №1
2 или 1 раз кнопку №2
ЧЧ КК
ЧК К
ЧЧ КЧ
ЧЧ Ч
Сначала определим, сколько раз (в среднем) потребуется нажать на кнопку "Мне повезёт", прежде чем мы поймём, что это кнопка "Мне повезёт"? Т.е. сколько раз надо нажать, чтобы получить разные напитки.
В лучшем случае два раза (сразу получим КЧ или ЧК). В худшем случае до ишачьей пасхи будем нажимать, если генератор случайных чисел над нами издевается и выдаёт одно и то же.
С вероятностью 1/2 хватит двух нажатий (КЧ или ЧК).
С вероятностью 1/4 хватит трёх нажатий (ККЧ или ЧЧК).
С вероятностью 1/8 хватит четырёх нажатий (КККЧ или ЧЧЧК).
С вероятностью 1/16 хватит пяти нажатий (ККККЧ или ЧЧЧЧК).
И т.д.
Надо просуммировать ряд 2/2+3/4+4/8+5/16+...+n/2^(n-1)+...
Ряд сходящийся, его сумма равна 3.
Т.е. в среднем кнопка "Мне повезёт" будет опознана после выдачи ЧЧК или ККЧ.
Нажимаем на кнопки 1 и 2.
С вероятностью 1/3 шайтан-аппарат выдаст одинаковые напитки. Теперь знаем, что кнопка "Мне повезёт" является одной из этих двух, по очереди нажимаем обе до тех пор, пока не получим другой напиток. Ожидается или 5 нажатий (ККЧ-КК либо ЧЧК-ЧЧ), или 6 нажатий (КККК-КККЧ либо ЧЧЧЧ-ЧЧЧК).
Если выдаются разные напитки (вероятность 2/3), то жмём третью кнопку. Имеем две кнопки с одинаковыми напитками. Над ними проводим ту же последовательность действий - жмём по очереди, пока не получим другой напиток. Всего ожидается либо 6 нажатий, либо 7.
Итого, 5.5*1/3 + 6.5*2/3 = 6.1(6) нажатий
БелаяПушиста
06.08.13, 10:16
о, у Gombo и san_san ответы совпали!
будем надеяться, что правильные.
Жалко мишку
Для просмотра полной версии этой страницы, пожалуйста,
пройдите по ссылке.